用代数方法研究运动变换问题福州市永泰一中 张祖冬（本资料是受福建省普教室张弘老师的委托，组织整理更新而成，停课不停学，我们一起努力！）在数学发展的相当长的时期内，算术是几何的附庸，笛卡尔和费马将数与图形有机的结合在一起，开创了图形的数量化研究，实现了根本性的转变，“数无形时不直观，形无数时难入微”道出了数形结合的辩证关系。我们在初中数学学习中，应该引导学生感知这种图形的数量化研究的思想和魅力，应该将代数与图形有机结合，能用“代数表示”研究图形的位置和图形变换运动过程，养成具有良好的感知图形的数量化研究的思想和魅力。这将为学生今后高中甚至于大学之后的数学学习产生深远影响．【例1】（2017·南通） 已知直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（1）若∠AOB＝60°，AB∥x轴，AB＝2，求a的值．（2）若∠AOB＝90°，点A的横坐标为－4，AC＝4BC，求点B的坐标．（3）延长AD，BO相交于点E，求证：DE＝CO．
将所得到的B点坐标代入y＝ax2（a＞0）即可得到所求的a的值为：√3．（2）画出符合条件的相对准确的图形，如下图：
由△AOD∽OBE（或三角函数的定义），得16a:4=1:a，解得a＝1/2（负值舍去），所以点B的坐标是（1，1/2）．
（3）如下图示，（两种情况只是图形位置不同，解题思路和方法完全一样）
另：OC的长的求法，也可由OC∥AE得△BOC∽△BEA，再根据“相似三角形对应高的比等于相似比”得OC：AE＝BN：BM.……综上，DE＝OC.法三：
所以AD/DE＝AC/BC，进一步，得AD/AE＝AC/AB，又∠BAE＝∠BAE，因此△ACD∽△AEB，……，得CD∥BE，又OC∥DE，所以四边形DEOC是平行四边形，因此DE＝OC.
法三：设A（x1，a），B（x2，a），则直线OB的解析式为y＝ax2x.又因AE∥y轴，则xE＝xA＝x1，yE＝ax1x2．直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax2(a＞0)相交于A，B两点，x1，x2是方程ax2－kx－b＝0的两根，则x1·x2＝．yE＝ax1x2＝a·()＝－b．所以DE＝b． 另一方面，在y＝kx＋b中，由xC＝0，得yC＝b．即OC＝b．综上，DE＝CO．【反思】第3小题的三种解法，其本质都一样。另试题本身含较丰富的参数的计算，因此式的变形正确与否就显得非常重要．【例2】（2017·甘肃）如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．
【图文解析】（1）简析：只需将点B、点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得关于a、b的方程组，即可得到a、b的值。答案为：y=1/4x2+3/2x+4.（2）由于A（0，4）、B（－2，0），C（8，0），得OA＝4，BC＝10，设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），则BN=n+2，CN=8﹣n．如下图示：
法一：先求S△ABN＝0.5×(n+2)×4＝2n+4, 由于A、M、B三点共线，所以S△AMN：S△ABN＝AM：AB，另一方面，由NM∥AC可得AM：AB＝（8－n）：10，所以S△AMN：S△ABN＝（8－n）：10，化简，得
因﹣1/5＜0，当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大.法二：由A（0，4）和C（8，0）先求出直线AC的解析式为y=－1/2x+4，再由A（0，4）和B（－2，0）求出直线AC的解析式为y=2x+4. 因为NM∥AC，所以可设直线MN的解析式为y=－1/2x+b，将点N（n，0）代入，1/2n+b＝0，解得b=1/2n，所以直线MN的解析式为y=－1/2x+1/2n＝－1/2（x－n）.如下图示：
得yM=(2n+4)/5.所以S△AMN＝S△ABN－S△BMN＝0.5×BN×OA－0.5×BN×MN＝0.5×BN×(OA－MN)＝0.5(n+2)[4-(2n+4)/5]＝－1/5(n-5)2+5. 下同.【反思】虽然第二种方法较繁，但两种解法都是常用的解题思路.（3）由（2）得N（3，0），此时N为BC边的中点，如下图示：
由NM∥AC，得AM：BM＝CN：BN＝1：1，即AM＝BM. 在Rt△AOB中，由AM＝BM可得，OM＝1/2AB.如下图示：
分别在Rt△AOB和Rt△AOC中，由勾股定理，可得AB＝2×根号5，AC＝4×根号5，所以AB＝1/2AC。如下图示：
（当然也可用相似来证AB＝1/2AC）.
所以OM＝1/4AC.
【例3】（2017·山西）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E．连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t>0）．
（1）求直线BC的函数表达式．（2）①直接写出P、D两点的坐标（用含的代数式表示，结果需化简）．②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值．（3）试探究在点P、Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点．若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【图文解析】(1)基本题，不做详解.简解如下：分别当y=0和x=0时，代入解析式，得到相应的x的值和y的值.
②当PQ=PD时，过P点作PH⊥QD于点H，如下图示：
【例4】（2017•湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与 A，B点不重合），抛物线L1：y=ax2+b1x+c1（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．（1）若a=﹣0.5，m=﹣1，求抛物线L1，L2的解析式；（2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．
图文解析：
（2）A(-4，0)，B(4，0)，C(m，0). 先分别求出过A、C两点（或过B、C两点）且a=－1的抛物线解析式；分别为：L1为y=﹣x2+（m﹣4）x+4m；L2为y=﹣x2+（m+4）x﹣4m；进一步，通过配方，求得: 当AF⊥BF时，∠1+∠3＝90°，又∠2+∠3＝90°，得到∠1＝∠2. 分别在Rt△AGD和Rt△BEH中，由tan∠1=DG/AG=BH/EH=tan∠2．
综上可得：假设AF⊥BF时，必满足a≤﹣1/3，反之，若不满足这个关系式，则直线AF与BF就不可能互相垂直.等价于：
所以a=﹣1/3或﹣1/4等（不唯一）.反思：数形结合思想是依托，“式的变形与计算”是关键.【例5】（2018·晋江质检）已知经过原点的抛物线y=ax2+bx与x轴的正凟交于点A，点P是抛物线在第一象限上的一个支点.
（1）如图1，若a=1，点P的坐标为（5/2，5/4），①求b的值；②若点Q是y轴上的一点，且满足∠QPO＝∠POA，求点Q的坐标；（2）如图2，过点P的直线BC分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点B、C，过点C作CD⊥x轴交射线OP于点D，设点P的纵坐标为yP，若OB·CD＝6，试求yP的最大值.
【图文解析】（1）①直接代入，即可求得，答案为：b=2.相应的解析式为：y=x2－2x.②画出符合题意的图是解决问题的第一步，也是重中之重，本题的图不难画出，但要注意两种情况，如下图示：
第一种情况，答案显然为Q（0，5/4）；第二种情况可以直接求解，也可以借助第一种情况求解.法一：先求PQ2与x轴交点坐标E，再求出直线PQ2的解析式，最后再求出Q2坐标，如下图示：可得E（25/16，0），进一步得到直角PE的解析式为y=4/3x－25/12，从而得到Q（0，－25/12）. 法二：利用角平分线的对称性，如下图示，根据相似或三角函数定义或勾股定理，不难得到：
由于抛物线是不确定的，题中所叙述的P点其实与抛物线无关，也就只是说符合条件OB×CD＝6的P点，均能找到a、b使抛物线y=ax2+bx过P点且满足题中条件. 因此本题可以撇开抛物线来解决。 法二：判别式法 将等式s=1/t+t/6进行去分母，可得：6st=6+t2，整理成关于s的一元二次方程，得：t2－6st+6＝0，由于t>0，所以关于t显然有实数根，因此有△＝(－6s)2－4×1×6＝36s2－24≥0，即s2≥2/3，由于s＞0，所以s≥√6/3.……【快速查找本公众号文章】视频演示
关注本公众号后，按视频中的操作，即可方便找到所需要的文章.
【例6】（2018·福州质检）如图，抛物线y=ax2+bx(a>0，b<0)交x轴于O、A两点，顶点为B.（1）直接写出A，B两点的坐标（用含a、b的代数式表示）；（2）直线y=kx+m（k>0）过点B，且与抛物线交于另一点D（点D与点A不重合），交y轴于点C，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AB，CE，求证：CE∥AB；（3）在（2）的条件下，连接OB，当∠OBA＝1200，√3/2≤k≤√3时，求AB/CE的取值范围.
(2)若用原顶点B的坐标代入直线解析式中，计算显然非常大，为此将原抛物线与直线解析式进行改造，如下： 抛物线的顶点B设为(h，d)，则抛物线为y=a(x－h)2+d，将原点（0，0）代入，得ah2+d=0，得到d=-ah2 ，所以抛物线为y=a(x－h)2-ah2.而直线y=kx+m经过点B，代入，得d=kh+m，得m=d-kh，所以直线为y=kx+d-kh=k(x-h)+d，即y=k(x-h)－ah2.如下图示：
联立两解析式，得a(x－h)2-ah2=k(x-h)－ah2．即a(x－h)2 =k(x-h)，移项，得a(x－h)2－k(x-h)＝0．因式分解，得(x-h)[a(x－h)－k]＝0．解得x1=h，x2＝h+k/a．所以xD=h+k/a，显然xD>0.对于直线CD：y=k(x-h)－ah2，当x=0时，y=－kh－ah2．得yC=－kh－ah2，因k<0，显然有yC<0.添加如下图示的辅助线（构造直角三角形）：
由上述知:OC＝－yC=kh+ah2= h(k+ah)，OE=xD= h+k/a=1/a(ah+k)，BF＝－yB=b2/(4a),AF=OF=xB=－b/(2a).分别在Rt△OCE和Rt△ABF中，tan∠OEC＝OC/OE＝…＝ah,tan∠BAF＝BF/AF＝…＝－b/2又由抛物线的对称为x=h=-b/(2a)，得ah=－b/2，得tan∠OEC＝tan∠BAF进一步，得∠OEC＝∠BAF，所以CE∥AB.(3)当∠OBA＝120°时，得∠BAF＝300，由上述知：tan∠BAF＝－b/2，得b=－2√3/3.
【例7】（19·龙岩二检）已知直线y=x+t与双曲线y=k/x (k>0)交于C、D两点，过C作CA⊥x轴于点A，过D作DB⊥y轴于点B，连接AB.(1)求C、D两点的坐标;(2)试探究直线AB与CD的位置关系并说明理由;(3)已知点D(3,2)，且C、D在抛物线y=ax2+bx+5(a≠0) 上，若当m≤x≤n(其中mn<0)时，函数y=ax2+bx+5的最 小值为2m，最大值为2n，求m+n的值．【图文解析】（1）常规题，含多个参数，但需耐心计算：答案如下：
（2）不妨设xC<xD．【法一】常规思路——计量较大
【法二】非常规设元，避开繁杂的计算设A(p，0)，B（0，n）．且p≠n．代入直线解析式，得C(p，p+t)，D(n-t，n)．又因点C、D在双曲线y=k/x上，所以p(p+t)=n(n-t)．即p2+pt=n2-nt．得(p+n)t＝- (p+n)(p-n)．因p≠n，得p-n≠0．所以p+n=0．得p=-n．(根据“0乘以任何数均为0”)又当t=n时，代入上式p(p+t)=n(n-t)，得p=n=0，得C（0，t），不合题意，舍去．此时A（-n，0），B(0，n)，易求得直线AB为y=x+n．又直线CD为y=x+t．t≠n．所以直线AB∥CD．（下图是t<0时的情形）【法三】几何法——简捷直观．如下图示，易证S△CDB＝S△ODB＝|k|/2．同理S△CDA＝|k|/2，所以S△CDB＝S△CDA．由面积公式，得BE＝AF，且BE∥AF，进一步，得四边形ABEF为矩形． （3）当点D（3，2）时，不难求得直线与双曲线的解析式分别为y=x-1或y=6/x．进一步（联立两解析式），得C（-2，-3）．将点C、D的坐标代入抛物线y=ax2+bx+5 (a≠0) 的解析式，可求得抛物线为y=-x2-2x+5=-(x-1)2+6．其对称轴为直线x=1．由mn<0且m≤x≤n，知：m<0，n=0．根据对称轴的位置不同，可分为下列三种情况：
《尖子生之路》系列丛书，全套7册，答案单独成册，全彩版呈现，由本公众号主张祖冬个人独立编写！以“图解”形式突破中难题，注重基本图形的变式，注重拓展延伸.阅读方便、直观，思路清晰流畅，不但可以节约大量的宝贵时间，而且更能让你想象体会到其中的解题思路和方法技巧，还能从“基本图形”的应用、变式、拓展和延伸中感受到所谓的名目繁多的“模型套路”的本质.书中所选用的试题及大量的变式拓展延伸等选自本人所写的公众号文章精选更新优化而成，均立足于课标与教材，立足于一线的教学实践与体会，重视教学实际与可操作性.《尖子生之路》(7册)（个人作品，全彩版）
《图解中考数学压轴题》(20版)
《中考数学备考冲刺》（二轮复习）
《优学中考总复习》（20版)（一轮复习）
【例8】（19·厦门二检）
在平面直角坐标系xoy中，已知点A．若对点A作如下变换： 第一步：作点A关于x轴的对称点A1；第二步：以O为位似中心，作线段OA1的位似图形OA2，且相似比OA2/OA1＝q，则称A2是点A的对称位似点．（1）若A（2，3），q=2，直接写出点A的对称位似点的坐标；
①当k=1/2时，判断E（1，－1）是否为点N的对称位似点，请说明理由；②若直线l与抛物线C交于点M（x1，y1）（x1≠0），且点M不是抛物线的顶点，则点M的对称位似点是否可能仍在抛物线C上？请说明理由．【题干解读】理解题意（新定义）和位似的定义与性质，体会定义中的前后点的联系与特征，尤其是当q的值变化时，对应的A2与A1之间的变化规律（所包含的函数关系）．可以发现直线A1A2必经过原点，并且：
（2）【支题干解读】（ⅱ）而抛物线C的解析式中只含有一个参数m，二次项系数为定值-1/2，所以当m改变时，相当于抛物线平移，同时抛物线C的对称轴为x=m，顶点坐标为（m，-2+m2/2）．另一方面，联立抛物线C与直线l的解析式，得：．整理，得x(x-2m-2k)=0．解得x=0或x=2(m-k)．即抛物线C与直线l的另一个交点M的横坐标xM＝2(m-k)．（上述结论在最后一问的解答需要用到，而且恰好是解题的关键）①当k=1/2时，由解读知N（2，-1）．(本小题计算量不大，也可直接求解点N的坐标，如下：当k=1/2时，直线l为y=x/2-2，此时yN＝2k－2＝－1，代入直线l的解析式，得xN=2，所以N（2，-1）．)【法一】因点N关于x轴的对称点N1（2，1），根据定义，N点的位似点应为(2t，t)(t为任意实数，用t代替q，避免分类)，进一步，得：N点的位似点应在直线y=x/2上（原点除外）．显然E（1，-1）不在直线y=x/2上，所以当k=1/2时，点E（1，-1）不是点N的对称位似点．【法三】N1的求法与法一相同．不难求得直线N1E的解析式，但直线N1E不经过原点，……（可参考【题干解读】的说明）．②由【又题干解读】知：所以或．且抛物线C的顶点坐标为（m，-2+m2/2），直线l与抛物线C交于点M的横坐标xM＝2(m-k)．当m=2k时，代入直线解析式，得M（2k，2k2-2），此时时抛物线C的顶点为（2k，2k2-2），不合题意（点M不是抛物线的顶点），舍去．当m=－k时，代入直线解析式，得M（-4k，-4k2-2）．（关于t的方程有实根，即存在t的值，符合题意）．由k2≤1/16与k＜0，得-1/4≤k<0．即当-1/4≤k<0时，点M的对称位似点仍在抛物线C上．
【好消息】继续无任何条件免费分享2020版《优学中考总复习·数学》课件，课件中含课时讲解、课时同步训练和综合试卷（含阶段训练、基础124的15份、中考模拟）等详细答案，需要的朋友点击下列链接打开文章认真阅读获取方法.2020版《优学中考总复习·数学》全套课件无条件免费分享
【例9】（2018·泰州）平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数y1=k/x (x＞0)的图像上.点A′与点A关于点O对称，一次函数y2=mx+n的图像经过点A′.
（1）设a=2，点B（4，2）在函数y1，y2的图像上.①分别求函数y1，y2的表达式；②直接写出使y1>y2>0成立的x的范围；（2）如图①，设函数y1，y2的图像相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA′B的面积为16，求k的值；（3）设m=1/2，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图像相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图像与线段EF的交点P一定在函数y1的图像上.
【例10】（2018·金华）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=m/x与y=n/x (x＞0，0＜m＜n)的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．（1）当m＝4，n＝20时．①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．
【图文解析】（1）当m=4，n=20时，两函数的解析式为y=4/x和y=20/x，当x＝4时，对应的函数值分别为1和5，所以B（4，1），得D（4，5），①当点P的纵坐标为2时，即当y=2时，对应的x的值分别为2和10，所以A（2，2）、C（10，2）．设直线AB为y=kx+b，则有：
②当点P是BD的中点时，P（4，3），类似地，当y=3时，对应的x的值分别为4/3和20/3，即A（4/3，3），B（20/3，3），从而PA＝xP－xA=4-4/3＝8/3，PC＝xB－xP=20/3-4＝8/3，所以PA＝PC，又P是BD的中点，所以ABCD是平行四边形，又因BD⊥AC，所以四边形ABCD为菱形．（2）若四边形ABCD为正方形，则必须满足ABCD是菱形，且BD＝AC．由于BD⊥AC，所以只需满足PA＝PB＝PC＝PD即可．不妨设P（4，t），PA＝PB＝PC＝PD＝a≠0，则A（4-a，t），C(4+a，t)，B(4，t-a)，D(4，t+a)，如下图示：
所以m=t(4-a)=4(t-a)，……① n=t(4+a)=4(t+a)，……②由①得：4t-at=4t-4a，即at=4a， 因a≠0，所以t=4，由②得：4t+at=4t+4a，即at=4a， 因a≠0，所以t=4，将t=4，分别代回到①②，得： m=4(4-a)，n=4(4+a)所以m+n=32．【相关推荐】近三年福建省九地市九下质检压轴（含填选）汇总－完整版（2017～2019）近四年（2017-2020）学年福建九地市九上质检压轴图文解析与部分视频解析汇总在文末右下角点亮【在看】吧！也是对作者的最大鼓励和赞赏！下面是本公众号对应的另一个公众号,主要用途：不定期详细分类汇总本公众号的所有文章，便于分类查找.